Session normale 2014

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Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= 1-1/x^2 +lnx `

1) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= 2/x^3 +1/x ` en déduire que `g` est croissante sur `]0,+infty[`

2) Vérifier que ` g(1)= 0 ` et en déduire que :

`g(x) <= 0 ` pour tout ` x in ]0,1]`

` g(x) >= 0 ` pour tout ` x in [1, +infty[`

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par ` f(x)= (1+lnx)^2 +1/x^2 `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` , puis interpréter géométriquement ce résultat

2a) Calculer ` lim_{ x to +infty} f(x) `

b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (1+lnx)^2/x = 0 ` , puis montrer que `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = 0 ` Indication On pourra poser ` t =sqrt(x)`

c) Déterminer la branche infinie de la courbe `C_f` au voisinage de `+infty `

3a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (2g(x))/x ` puis en déduire que :

la fonction `f` est décroissante sur `]0,1]`

la fonction `f` est croissante sur `[1,+infty[`

b) Dresser le tableau des variations de `f` sur `]0,+infty[` , puis en déduire que ` forall x in ]0,+infty[ : f(x) >= 2 `

4) Tracer la courbe `C_f`

Partie 3

On considère les deux intégrales ` I = int_1^e ( 1+lnx)dx ` et `J = int_1^e (1+lnx)^2 dx `

1) Montrer que la fonction ` x-> xlnx` est une primitive de la fonction ` h : x-> 1+lnx ` sur `]0,+infty[` , puis en déduire que `I =e `

2) En utilisant une intégration par parties montrer que `J =2e -1 `

3) Calculer en `cm^2` , l aire du domaine du plan délimité par la courbe `C_f` , l'axe des abscisses et les droites d'équations cartésiennes ` x= 1 ` et ` x = e`

Partie 1

1) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= 2/x^3 +1/x ` en déduire que `g` est croissante sur `]0,+infty[`

la fonction `g` est dérivable sur `]0,+infty[ `

et on a pour tout `x > 0 : g'(x)= (1-1/x^2 +lnx)' `

` = (2x)/x^4 + 1/x `

` = 2/x^3 +1/x `

`forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= 2/x^3 +1/x`

Puisque pour tout ` x > 0 ` on a ` x > 0 ` et `x^3 > 0 `

alors ` 2/x^3+1/x > 0 `

`=> forall x in ]0,+infty[ : g'(x) > 0 `

alors la fonction `g` est croissante sur `]0,+infty[ `

2) Vérifier que ` g(1)= 0 ` et en déduire que : `g(x) <= 0 ` pour tout ` x in ]0,1]` ` g(x) >= 0 ` pour tout ` x in [1, +infty[`

On a ` g(1)= 1-1/1^2 + ln1 = 0 `

`=> g(1)= 0 `

On pour tout ` x in ]0,1] => x <= 1 `

`=> g(x) <= g(1) ` car `g` est croissante sur `]0,1]`

`=> g(x) <= 0 `

`=> forall x in ]0,1] : g(x) <= 0 `

On a pour tout ` x in [1, +infty[ `

`=> 1 <= x `

`=> g(1) <= g(x) ` car `g` est croissante sur `[1, +infty[ `

`=> 0 <= g(x) `

` forall x in [1, +infty[ : 0 <= g(x) `

Partie 2

1) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` , puis interpréter géométriquement ce résultat

On a ` lim_{ x to 0^+} 1/x^2 = +infty `

` lim_{ x to 0^+} (1+lnx)= -infty => lim_{ x to 0^+} (1+lnx)^2 = +infty `

`=> lim_{ x to 0^+} (1+lnx)^2 +1/x^2 = +infty `

`=> lim_{ x to 0^+} f(x)= + infty `

Interprétation géométrique

la droite d'équation `x = 0 ` est une asymptote verticale de la courbe `C_f `